Cho A a,b,c dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng nếu a+b+c>1/a+1/b+1/c thì có 1 và chr 1 trong ba số a,b,c lớn hơn 1
Cho $a$, $b$, $c$ là các số dương thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng nếu $a + b + c > \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c$ thì có một và chỉ một trong ba số $a$, $b$, $c$ lớn hơn $1$.
Tham khảo:
Gỉa sử : a+b+c> 1/a + 1/b + 1/c nhưng không thỏa mãn một và chỉ một trong 3 số a,b,c lớn hơn 1
*TH1:Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 1 hoặc đều nhỏ hơn 1 suy ra mâu thẫn( vì abc=1)
*TH2: có 2 số lớn hơn 1
Gỉa sử: a>1, b>1, c<1 <=> a-1>0 , b-1>0 , c-1<0
=> (a-1)(b-1)(c-1)<0
=>abc+a+b+c-(ab+bc+ca)-1<0
<=>a+b+c<ab+bc+ca
<=>a+b+c<abc/c+abc/a+abc/b
Thay abc=1 ta được:
a+b+c<1/a+1/b+1/c(mâu thuẫn với giả thuyết nên điều giả sử sai)
=>đpcm
Trường hợp 1: Giả sử ba số , , đều lớn hơn hoặc ba số , , đều nhỏ hơn .
Khi đó
a.b.c (trái với giả thiết).
Trường hợp 2: Giả sử hai trong ba số , , lớn hơn 1.
Không mất tính tổng quát, giả sử và .
Vì nên do đó:
a + b + c < + \(\dfrac{abc}{a}\) + \(\dfrac{abc}{b}\)
⇔ a + b + c < \(\dfrac{1}{c}\) + \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) (mâu thuẫn với giả thiết)
Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số , , lớn hơn
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b +c = 2013 và 1/a + 1/b + 1/c = 1/2013 thì phải có một trong ba số bằng 2013
1.a)Cho các số dương a,b,c có tích bằng 1.Chứng minh rằng (a+1)(b+1)(c+1) lớn hơn hoặc bằng 8.
b)Chocacs số a và b không âm.Chứng minh rằng (a+b)(ab+1) lớn hơn hoặc bằng 4ab.
2.Cho các số dương a,b,c,d có tích bằng 1.Chứng minh rằng a bình +b bình +c bình +d bình +ab+cd lớn hơn hoặc bằng 6.
3.Chứng minh rằng nếu a+b+c>0.abc>0.ab+bc+ca>0 thì a>0,b>0,c>0.
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề
chứng minh rằng nếu a b c là 3 số thỏa mãn a+b+c=2008 và 1/a+1/b+1/c=1/2008 thì trong ba số a b c phải có một số = 2008
Em tham khảo cách làm tương tự như link bên dưới nhé!
Câu hỏi của đàm anh quân lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
1.Cho \(a,b,c,d\) là các số nguyên thỏa mãn \(a^3+b^3=2\left(c^3-d^3\right)\) . Chứng minh rằng a+b+c+d chia hết cho 3
2.Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
1. Chứng minh rằng một tam giác có đường trung tuyến vừa là phân giác xuất phát từ 1 đỉnh là tam giác cân tại đỉnh đó.
2. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng : Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm thì a và c cùng dấu.
3. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng : Nếu 2 số nguyên dương có tổng bình phương chia hết cho 3 thì cả hai số đó phải chia hết cho 3.
4. Chứng minh rằng : Nếu độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác.
5. Cho a, b, c dương nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau sai
a( 1 - b) > 1/4 ; b( 1- c) > 1/4 ; c( 1 - a ) > 1/4
6. Chứng minh rằng \(\sqrt{ }\)2 là số vô tỉ
7. Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện:
{ a+ b+ c> 0 (1)
{ ab + bc + ca > 0 (2)
{ abc > 0 ( 3)
CMR : cả ba số a, b, c đều dương
8. Chứng minh bằng phản chứng định lí sau : "Nếu tam giác ABC có các đường phân giác trong BE, CF bằng nhau, thì tam giác ABC cân".
9. Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. CMR luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành 1 tam giác.
Cho các số a,b,c thỏa mãn abc+ a +b +c > ab +bc +ac +1. Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có ít nhất một số lớn hơn 1
cho ba số thực a,b,c dương thỏa mãn abc=1. chứng minh rằng a/(2b+a) + b/(2c+b) +c/(2a+c)>=1
\(\frac{a}{2b+a}+\frac{b}{2c+b}+\frac{c}{2a+c}=\frac{a^2}{2ab+a^2}+\frac{b^2}{2bc+b^2}+\frac{c^2}{2ca+c^2}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+a^2+2bc+b^2+2ca+c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
bạn giải thích rõ hơn cho mình về xét dấu = xảy ra đc k?
a/2b+a = b/2c+b = c/2a+c
kèm thêm đk : abc = 1
A, cho abc = 1 và a+b+c = 1/a +1/b +1/c. Chứng minh tồn tại một trong 3 số a,b,c bằng 1
B, chứng minh rằng nếu a + b + c = n và 1/a + 1/b + 1/c = 1/n thì tồn tại một trong ba số bằng n
C, chứng minh rằng nếu 3 số a,b,c khác 0 thì thỏa mãn đẳng thức
a2 -- b2 / ab + b2 -- c2 /bc + c2 -- a2/ca =0
thì tồn tại hai số bằng nhau